4. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный четырехугольник, если радиус описанной около него окружности равен 6.

Правильный четырехугольник - это квадрат. Радиус описанной окружности вокруг квадрата ($$R$$) связан с длиной стороны квадрата ($$a$$) соотношением $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$. Радиус вписанной окружности в квадрат ($$r$$) равен половине длины стороны, т.е. $$r = \frac{a}{2}$$.

Дано: $$R = 6$$.

Найти: $$r$$.

Выразим сторону квадрата через радиус описанной окружности: $$a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$.

Тогда радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{a}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$.

Ответ: $$3\sqrt{2}$$