5*. Правильный восьмиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈ вписан в окружность радиуса 18. Найдите площадь треугольника А₁OA₄.

Площадь треугольника $$A_1OA_4$$ равна половине произведения сторон $$OA_1$$ и $$OA_4$$ на синус угла между ними: $$S = \frac{1}{2} \cdot OA_1 \cdot OA_4 \cdot sin(\angle A_1OA_4)$$. Так как восьмиугольник правильный, то все стороны равны, и все углы между радиусами, проведенными в соседние вершины, равны. Полный угол равен $$360^\circ$$, значит каждый угол равен $$\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$$. Угол $$A_1OA_4$$ состоит из трех таких углов, поэтому $$\angle A_1OA_4 = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$$. Радиусы $$OA_1$$ и $$OA_4$$ равны 18.

Тогда площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 18 \cdot sin(135^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 18 \cdot sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 81\sqrt{2}$$.

Ответ: $$81\sqrt{2}$$