5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 4 см, 13 см, и 15 см.

Дано: стороны треугольника a = 4 см, b = 13 см, c = 15 см.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле: $$r = \frac{S}{p}$$, где S - площадь треугольника, p - полупериметр.

Найдем полупериметр: $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 13 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ см.

Площадь треугольника найдем по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$

$$S = \sqrt{16(16 - 4)(16 - 13)(16 - 15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24$$ см².

Радиус вписанной окружности: $$r = \frac{24}{16} = 1.5$$ см.

Ответ: радиус окружности равен 1.5 см.