Найдите \( \sin x \), если \( \cos x = \frac{2\sqrt{6}}{5} \) и \( 180^{\circ} < x < 270^{\circ} \).

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).

Выразим \( \sin x \): \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

Подставим значение \( \cos x \):

\( \sin^2 x = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} \).

Извлечём квадратный корень:

\( \sin x = \pm\sqrt{\frac{1}{25}} = \pm\frac{1}{5} \).

Условие \( 180^{\circ} < x < 270^{\circ} \) означает, что \( x \) находится в третьем координатном угле. В третьем угле \( \sin x \) отрицателен.

Следовательно, \( \sin x = -\frac{1}{5} \).

Ответ: -0,2