5. Найдите синус, косинус, тангенс углов А И В прямоугольного треугольника АВС, если: а) AC = 4, AB = 5; 6) AC=15, BC=8; в) ВС = 6v3, AB=9V2.

Решение:

а) AC = 4, AB = 5

• Найдем BC по теореме Пифагора: \[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\]
• Синус, косинус и тангенс угла A: \[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6\] \[cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} = 0.8\] \[tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4} = 0.75\]
• Синус, косинус и тангенс угла B: \[sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} = 0.8\] \[cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6\] \[tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{3} = 1.33\]

б) AC = 15, BC = 8

• Найдем AB по теореме Пифагора: \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\]
• Синус, косинус и тангенс угла A: \[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}\] \[cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}\] \[tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}\]
• Синус, косинус и тангенс угла B: \[sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}\] \[cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}\] \[tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}\]

в) BC = 6√3, AB = 9√2

• Найдем AC по теореме Пифагора: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{162 - 108} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\]
• Синус, косинус и тангенс угла A: \[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6\sqrt{3}}{9\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}\] \[cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{6}}{9\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\] \[tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{6\sqrt{3}}{3\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\]
• Синус, косинус и тангенс угла B: \[sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{6}}{9\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\] \[cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{6\sqrt{3}}{9\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}\] \[tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{3\sqrt{6}}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]