1027 Найдите стороны треугольника АВС, если ∠A = 45°, ∠C=30°, а высота AD падна 3 м.

Дано: ∠A = 45°, ∠C = 30°, AD = 3 м, AD ⊥ BC

Найти: AB, AC, BC

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABD:

$$ sin∠B = \frac{AD}{AB} $$

Угол ∠B= 180 - 45 - 30 = 105

$$ AB = \frac{AD}{\sin∠B} = \frac{3}{\sin45°} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \text{ м} $$

В прямоугольном треугольнике ADC:

$$\sin∠C = \frac{AD}{AC}$$ $$ AC = \frac{AD}{\sin30°} = \frac{3}{0.5} = 6 \text{ м} $$

Найдем DC:

$$\tan 30 = \frac{AD}{DC}$$ $$ DC = \frac{3}{\tan 30} = \frac{3}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3\sqrt{3} $$ $$\tan 45 = \frac{AD}{BD} $$ $$ BD = \frac{3}{\tan 45} = 3 $$

Тогда BC = BD + DC = 3 + 3\sqrt{3} = 3(1 + \sqrt{3})

Ответ: AB = 3√2 м, AC = 6 м, BC = 3(1 + √3) м