1026 В треугольнике АВС АС = 12 см, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найди- те АВ И SABC.

Дано: АС = 12 см, ∠A = 75°, ∠C = 60°.

Найти: АВ, S_ABC.

Решение:

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

$$ ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 75° - 60° = 45° $$

Используем теорему синусов для нахождения АВ:

$$ \frac{AC}{sinB} = \frac{AB}{sinC} $$

Отсюда:

$$ AB = \frac{AC \cdot sinC}{sinB} = \frac{12 \cdot sin60°}{sin45°} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{6} \text{ см} $$

Теперь найдем площадь треугольника:

$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot sinA = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{6} \cdot sin75° = 36\sqrt{6} \cdot sin75° $$

sin75° = sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2) / 4

$$ S_{ABC} = 36\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 9\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 9(6 + \sqrt{12}) = 9(6 + 2\sqrt{3}) = 54 + 18\sqrt{3} \text{ см}^2 $$

Ответ: AB = 6√6 см, S_ABC = 54 + 18√3 см².