8. Найдите сумму квадратов корней уравнения 4х2-7x-1=0.

Пусть дано квадратное уравнение $$4x^2 - 7x - 1 = 0$$. Сначала приведем его к виду $$x^2 + px + q = 0$$, разделив обе части уравнения на 4: $$x^2 - \frac{7}{4}x - \frac{1}{4} = 0$$.

По теореме Виета, сумма корней равна $$x_1 + x_2 = -p = \frac{7}{4}$$, а произведение корней равно $$x_1x_2 = q = -\frac{1}{4}$$.

Нам нужно найти сумму квадратов корней, то есть $$x_1^2 + x_2^2$$. Выразим это через известные величины:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (\frac{7}{4})^2 - 2(-\frac{1}{4}) = \frac{49}{16} + \frac{2}{4} = \frac{49}{16} + \frac{8}{16} = \frac{57}{16}$$.

Ответ: $$\frac{57}{16}$$