Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (xn), первый член которой равен 8, а знаменатель равен 1/2.

Хей! Давай решим эту задачку вместе. Это про сумму членов геометрической прогрессии.

Дано:

• Первый член прогрессии x₁ = 8.
• Знаменатель прогрессии q = 1/2.
• Нужно найти сумму первых шести членов, то есть S₆.

Как решаем:

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]

Подставим наши значения:

1. Подставляем значения:
• \[ S_6 = \frac{8((\frac{1}{2})^6 - 1)}{\frac{1}{2} - 1} \]
2. Считаем степень:
• \[ (\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64} \]
3. Считаем знаменатель дроби:
• \[ \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \]
4. Подставляем обратно в формулу:
• \[ S_6 = \frac{8(\frac{1}{64} - 1)}{-\frac{1}{2}} \]
• \[ S_6 = \frac{8(\frac{1}{64} - \frac{64}{64})}{-\frac{1}{2}} \]
• \[ S_6 = \frac{8(-\frac{63}{64})}{-\frac{1}{2}} \]
• \[ S_6 = \frac{-\frac{8 \cdot 63}{64}}{-\frac{1}{2}} \]
• \[ S_6 = \frac{-\frac{63}{8}}{-\frac{1}{2}} \]
• Делим дроби (умножаем на перевернутую):
• \[ S_6 = -\frac{63}{8} \cdot (-\frac{2}{1}) \]
• \[ S_6 = \frac{63 \cdot 2}{8} \]
• \[ S_6 = \frac{126}{8} \]
• Сокращаем дробь:
• \[ S_6 = \frac{63}{4} = 15,75 \]

Ответ:

15,75