Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна -105, знаменатель прогрессии равен 4. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

Привет! Давай разберемся с этой задачей про сумму членов геометрической прогрессии.

Дано:

• Сумма первых трёх членов S₃ = -105.
• Знаменатель прогрессии q = 4.
• Нужно найти сумму первых пяти членов S₅.

Как решаем:

Сначала найдем первый член прогрессии (b₁), используя формулу суммы первых n членов:

\[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]

1. Находим первый член (b₁):
• \[ S_3 = \frac{b_1(q^3 - 1)}{q - 1} \]
• \[ -105 = \frac{b_1(4^3 - 1)}{4 - 1} \]
• \[ -105 = \frac{b_1(64 - 1)}{3} \]
• \[ -105 = \frac{b_1(63)}{3} \]
• \[ -105 = b_1 \cdot 21 \]
• \[ b_1 = \frac{-105}{21} \]
• \[ b_1 = -5 \]
2. Находим сумму первых пяти членов (S₅):

Теперь, когда мы знаем b₁ = -5 и q = 4, мы можем найти S₅:

• \[ S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} \]
• \[ S_5 = \frac{-5(4^5 - 1)}{4 - 1} \]
• \[ S_5 = \frac{-5(1024 - 1)}{3} \]
• \[ S_5 = \frac{-5(1023)}{3} \]
• \[ S_5 = -5 \cdot 341 \]
• \[ S_5 = -1705 \]

Ответ:

-1705