5) Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.

Ответ: 1683

Решение:

Первое натуральное число, кратное 3 и не превосходящее 100, это 3. Последнее такое число — 99. Таким образом, имеем арифметическую прогрессию:

\[3, 6, 9, ..., 99\]

Найдем количество членов этой прогрессии. \( n \)-й член прогрессии можно выразить как \( a_n = 3n \). Следовательно:

\[3n = 99\]\[n = \frac{99}{3} = 33\]

Теперь найдем сумму всех этих чисел:

\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]\[S_{33} = \frac{3 + 99}{2} \cdot 33\]\[S_{33} = \frac{102}{2} \cdot 33\]\[S_{33} = 51 \cdot 33\]\[S_{33} = 1683\]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100, равна 1683.

Ответ: 1683