4. Найдите сумму: а) всех натуральных чисел, не превышающих 80; б) всех двузначных чисел; в) всех четных чисел, не превышающих 100.

4. Найдите сумму:

a) всех натуральных чисел, не превышающих 80.

Сумма первых n натуральных чисел вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Здесь n = 80, поэтому:

$$S_{80} = \frac{80(80+1)}{2} = \frac{80(81)}{2} = 40(81) = 3240$$

б) всех двузначных чисел.

Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются 99. Это арифметическая прогрессия с a₁ = 10, aₙ = 99, и n = 99 - 10 + 1 = 90.

Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

$$S_{90} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$$

в) всех четных чисел, не превышающих 100.

Четные числа начинаются с 2 и заканчиваются 100. Это арифметическая прогрессия с a₁ = 2, aₙ = 100. Количество членов n = 100 / 2 = 50.

Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

$$S_{50} = \frac{2 + 100}{2} \cdot 50 = \frac{102}{2} \cdot 50 = 51 \cdot 50 = 2550$$

Ответ: a) 3240; б) 4905; в) 2550