4. Найдите сумму: a) всех натуральных чисел, не превышающих 50; б) всех натуральных чисел, кратных 4, не превышающих 100; в) всех нечетных чисел, не превышающих 100.

a) Сумма всех натуральных чисел, не превышающих 50, находится по формуле суммы арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$. В данном случае, $$a_1 = 1$$, $$a_n = 50$$, $$n = 50$$. Следовательно, $$S_{50} = \frac{50(1 + 50)}{2} = \frac{50 \cdot 51}{2} = 25 \cdot 51 = 1275$$. б) Натуральные числа, кратные 4 и не превышающие 100: 4, 8, 12, ..., 100. Здесь $$a_1 = 4$$, $$a_n = 100$$. Найдем $$n$$: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$, где $$d = 4$$. Тогда $$100 = 4 + (n-1)4$$, $$96 = (n-1)4$$, $$24 = n-1$$, $$n = 25$$. Сумма $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{25(4 + 100)}{2} = \frac{25 \cdot 104}{2} = 25 \cdot 52 = 1300$$. в) Нечетные числа, не превышающие 100: 1, 3, 5, ..., 99. Здесь $$a_1 = 1$$, $$a_n = 99$$, $$d = 2$$. Найдем $$n$$: $$99 = 1 + (n-1)2$$, $$98 = (n-1)2$$, $$49 = n-1$$, $$n = 50$$. Сумма $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{50(1 + 99)}{2} = \frac{50 \cdot 100}{2} = 25 \cdot 100 = 2500$$. Ответ: a) 1275, б) 1300, в) 2500.