Найдите точки экстремума функции: у = 12х - х³

Решение:

Чтобы найти точки экстремума, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Затем проверить знаки производной на интервалах.

1. Найдем производную функции \( y = 12x - x^3 \):

\[ y' = (12x)' - (x^3)' = 12 - 3x^2 \]

2. Приравняем производную к нулю:

\[ 12 - 3x^2 = 0 \]\[ 3x^2 = 12 \]\[ x^2 = 4 \]\[ x = \pm 2 \]

3. Проверим знаки производной на интервалах \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \), \( (2, \infty) \).
• При \( x < -2 \), например \( x = -3 \): \( y' = 12 - 3(-3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0 \) (функция убывает).
• При \( -2 < x < 2 \), например \( x = 0 \): \( y' = 12 - 3(0)^2 = 12 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( x > 2 \), например \( x = 3 \): \( y' = 12 - 3(3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0 \) (функция убывает).

Точка \( x = -2 \) является минимумом (производная меняет знак с минуса на плюс). Точка \( x = 2 \) является максимумом (производная меняет знак с плюса на минус).

Найдем значения функции в этих точках:

• При \( x = -2 \): \( y = 12(-2) - (-2)^3 = -24 - (-8) = -24 + 8 = -16 \) (точка минимума).
• При \( x = 2 \): \( y = 12(2) - (2)^3 = 24 - 8 = 16 \) (точка максимума).

Ответ: Точка минимума (-2, -16), точка максимума (2, 16).