Найдите точки экстремума функции: y = 12x - x³

Решение:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = 12x - x^3 \) необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

1. Найдём первую производную функции: \( y' = (12x - x^3)' = 12 - 3x^2 \).
2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: \( 12 - 3x^2 = 0 \) \( 3x^2 = 12 \) \( x^2 = 4 \) \( x = \pm 2 \).
3. Определим знаки производной на интервалах, полученных после разбивки числовой оси критическими точками (x = -2 и x = 2).
• На интервале \( (-\infty, -2) \), например, при \( x = -3 \): \( y' = 12 - 3(-3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (-2, 2) \), например, при \( x = 0 \): \( y' = 12 - 3(0)^2 = 12 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (2, \infty) \), например, при \( x = 3 \): \( y' = 12 - 3(3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0 \). Функция убывает.
4. Точка \( x = -2 \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.
5. Точка \( x = 2 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус.
6. Найдем значения функции в этих точках:
• При \( x = -2 \): \( y = 12(-2) - (-2)^3 = -24 - (-8) = -24 + 8 = -16 \).
• При \( x = 2 \): \( y = 12(2) - (2)^3 = 24 - 8 = 16 \).

Ответ: Точка минимума: (-2; -16). Точка максимума: (2; 16).