Найдите точки экстремума функции: y = 12x - x³

Решение:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = 12x - x^3 \) необходимо найти первую производную и приравнять её к нулю.

1. Найдём первую производную функции:
2. \( y' = (12x - x^3)' \)
3. \( y' = 12 - 3x^2 \)
4. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
5. \( 12 - 3x^2 = 0 \)
6. \( 3x^2 = 12 \)
7. \( x^2 = 4 \)
8. \( x = \cdot 2 \)
9. Теперь определим, являются ли эти точки точками максимума или минимума, с помощью второй производной.
10. Найдём вторую производную:
11. \( y'' = (12 - 3x^2)' \)
12. \( y'' = -6x \)
13. Проверим точки:
14. При \( x = 2 \): \( y'' = -6 \cdot 2 = -12 \). Так как \( y'' < 0 \), в точке \( x = 2 \) — максимум.
15. При \( x = -2 \): \( y'' = -6 \cdot (-2) = 12 \). Так как \( y'' > 0 \), в точке \( x = -2 \) — минимум.
16. Найдем значения функции в точках экстремума:
17. Для \( x = 2 \): \( y = 12 \cdot 2 - 2^3 = 24 - 8 = 16 \). Точка максимума: (2, 16).
18. Для \( x = -2 \): \( y = 12 \cdot (-2) - (-2)^3 = -24 - (-8) = -24 + 8 = -16 \). Точка минимума: (-2, -16).

Ответ: Точка минимума: (-2, -16); Точка максимума: (2, 16).