Найдите точки экстремума функции: y = x² - 4x² + 5x - 1

Решение:

Сначала упростим функцию: \( y = -3x^2 + 5x - 1 \).

Чтобы найти точки экстремума, нужно найти первую производную функции и приравнять ее к нулю.

1. Найдем производную функции:

\( y' = (-3x^2 + 5x - 1)' = -6x + 5 \).

2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

\( -6x + 5 = 0 \)

\( -6x = -5 \)

\( x = \frac{-5}{-6} = \frac{5}{6} \).

3. Определим тип экстремума, найдя вторую производную:

\( y'' = (-6x + 5)' = -6 \).

Так как \( y'' = -6 < 0 \) при \( x = \frac{5}{6} \), то в этой точке функция имеет максимум.

4. Найдем значение функции в точке экстремума:

\( y(\frac{5}{6}) = -3(\frac{5}{6})^2 + 5(\frac{5}{6}) - 1 = -3(\frac{25}{36}) + \frac{25}{6} - 1 = -\frac{25}{12} + \frac{50}{12} - \frac{12}{12} = \frac{25-12}{12} = \frac{13}{12} \).

Ответ: Точка максимума: (5/6, 13/12).