Найдите точки пересечения параболы y = x² и прямой y = 5x + 6.

Решение:

Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения:

\[ x^2 = 5x + 6 \]\[ x^2 - 5x - 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь найдем соответствующие значения \(y\), подставив \(x\) в любое из исходных уравнений, например, \(y = x^2\):

• При \(x_1 = 6\): \(y_1 = 6^2 = 36\). Точка пересечения: (6; 36).
• При \(x_2 = -1\): \(y_2 = (-1)^2 = 1\). Точка пересечения: (-1; 1).

Ответ: Точки пересечения: (6; 36) и (-1; 1).