Найдите точку максимума функции y = (x^2 - 10x + 10) e^(5-x).

Краткая запись:

• Функция: \( y = (x^2 - 10x + 10) e^{5-x} \)
• Найти: точку максимума (x) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем производную функции \( y \) по правилу умножения: \( (uv)' = u'v + uv' \).
   Пусть \( u = x^2 - 10x + 10 \), тогда \( u' = 2x - 10 \>.
   Пусть \( v = e^{5-x} \), тогда \( v' = e^{5-x} · (-1) = -e^{5-x} \>.
2. Шаг 2: Вычислим производную \( y' \):
   \( y' = (2x - 10)e^{5-x} + (x^2 - 10x + 10)(-e^{5-x}) \)
   \( y' = e^{5-x} [(2x - 10) - (x^2 - 10x + 10)] \)
   \( y' = e^{5-x} [2x - 10 - x^2 + 10x - 10] \)
   \( y' = e^{5-x} [-x^2 + 12x - 20] \).
3. Шаг 3: Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( e^{5-x} [-x^2 + 12x - 20] = 0 \>.
   Так как \( e^{5-x} \) всегда больше нуля, необходимо решить квадратное уравнение:
   \( -x^2 + 12x - 20 = 0 \>.
   \( x^2 - 12x + 20 = 0 \>.
4. Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):
   \( D = (-12)^2 - 4 · 1 · 20 = 144 - 80 = 64 \>.
   \( \sqrt{D} = 8 \>.
5. Шаг 5: Найдем корни:
   \( x_1 = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \>.
   \( x_2 = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10 \>.
6. Шаг 6: Определим, какая из точек является точкой максимума. Для этого проанализируем знак производной \( y' = e^{5-x} [-x^2 + 12x - 20] \>.
   Выражение \( -x^2 + 12x - 20 \> является параболой с ветвями вниз. Корни: 2 и 10.
   - При \( x < 2 \), например \( x=0 \), \( y' = e^5[-20] < 0 \> (функция убывает).
   - При \( 2 < x < 10 \), например \( x=3 \), \( y' = e^2[-9+36-20] = e^2[7] > 0 \> (функция возрастает).
   - При \( x > 10 \), например \( x=11 \), \( y' = e^{-6}[-121+132-20] = e^{-6}[-9] < 0 \> (функция убывает).
7. Шаг 7: Точка \( x=2 \) является точкой минимума (производная меняет знак с минуса на плюс).
   Точка \( x=10 \) является точкой максимума (производная меняет знак с плюса на минус).

Ответ: 10