Найдите точку минимума функции y = (48 - x)e^{48-x}.

1. **Находим производную функции:** Используем правило произведения: ( (uv)' = u'v + uv' ) ( u = (48-x), u' = -1 ) ( v = e^{48-x}, v' = -e^{48-x} ) ( y' = -1 \cdot e^{48-x} + (48-x)(-e^{48-x}) = -e^{48-x} - (48-x)e^{48-x} = e^{48-x}(-1 - 48 + x) = e^{48-x}(x - 49) ) 2. **Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:** ( e^{48-x}(x - 49) = 0 ) Так как ( e^{48-x} ) никогда не равно нулю, то ( x - 49 = 0 ) ( x = 49 ) 3. **Определяем характер критической точки (минимум или максимум), исследуя знаки производной:** Для этого берем два значения, одно меньше 49 и одно больше. Пусть x=48, ( y'(48) = e^{48-48}(48-49) = 1*(-1) = -1 ) Пусть x=50, ( y'(50) = e^{48-50}(50-49) = e^{-2} * 1 = e^{-2} > 0 ) Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс, то x=49 - точка минимума. **Ответ:** Точка минимума функции y = (48-x)e^{48-x} равна 49.