3. Найдите угол ABD, прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ=5, AD =4, AA1 =3. Ответ дайте в градусах.

Нужно найти угол \(\angle ABD_1\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADD_1\), где \(AD = 4\) и \(DD_1 = AA_1 = 3\). Тогда \(BD_1 = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABD\), \(AB=5\), \(AD=4\). Тогда \(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}\). Для угла \(\angle ABD_1\) рассмотрим треугольник \(ABD_1\). В этом треугольнике известны все стороны: \(AB = 5\), \(BD_1 = 5\sqrt{2}\), \(AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\). Найдем косинус угла \(\angle ABD_1\) по теореме косинусов: \(AD_1^2 = AB^2 + BD_1^2 - 2 \cdot AB \cdot BD_1 \cdot cos(\angle ABD_1)\) \(5^2 = 5^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5\sqrt{2} \cdot cos(\angle ABD_1)\) \(25 = 25 + 50 - 50\sqrt{2} \cdot cos(\angle ABD_1)\) \(0 = 50 - 50\sqrt{2} \cdot cos(\angle ABD_1)\) \(cos(\angle ABD_1) = \frac{50}{50\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) Таким образом, \(\angle ABD_1 = arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ\). Ответ: **45 градусов**.