5. Найдите величину двугранного угла, если гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 лежит на ребре угла, а остальные стороны в одной из его граней и меньший катет составляет угол arcsin co 2 5 второй гранью.

Пусть дан прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$AB$$ - гипотенуза, лежащая на ребре двугранного угла, $$AC = 3$$ и $$BC = 4$$. Пусть $$\varphi$$ - двугранный угол. Угол между катетом $$AC$$ и второй гранью равен $$\arcsin(\frac{2}{5})$$. Обозначим этот угол как $$\alpha$$. Следовательно, $$\sin(\alpha) = \frac{2}{5}$$.

Проекция катета $$AC$$ на вторую грань будет равна $$AC' = AC \cdot \cos(\alpha) = 3 \cdot \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = 3 \cdot \sqrt{1 - (\frac{2}{5})^2} = 3 \cdot \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = 3 \cdot \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{3\sqrt{21}}{5}$$.

Высота, опущенная из вершины $$C$$ на ребро (гипотенузу) будет равна $$h = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$$.

Пусть $$CC'$$ - перпендикуляр из точки $$C$$ на вторую грань. Тогда $$CC' = AC \cdot \sin(\alpha) = 3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$$.

Угол $$\varphi$$ между гранями можно найти через тангенс:

$$\tan(\varphi) = \frac{CC'}{h} = \frac{1.2}{2.4} = \frac{1}{2}$$ $$\varphi = \arctan(\frac{1}{2})$$

Ответ: arctan(1/2)