6. Найдите величину двугранного угла, если основание равностороннего треугольника лежит на ребре дву- гранного угла, остальные стороны лежат в одной из его граней, а большая сторона образует угол 60° со второй гранью угла.

Пусть $$ABC$$ - равносторонний треугольник, где $$AB$$ - основание, лежащее на ребре двугранного угла. Пусть $$a$$ - сторона треугольника. Угол между стороной $$AC$$ и второй гранью равен $$60^\circ$$. Обозначим этот угол как $$\alpha$$. Следовательно, $$\alpha = 60^\circ$$.

Высота треугольника равна $$h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Проекция высоты на вторую грань равна $$h' = h \cos(\alpha) = a \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = a \frac{\sqrt{3}}{4}$$.

Расстояние от вершины $$C$$ до второй грани равно $$d = a \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{4}$$.

Угол $$\varphi$$ между гранями можно найти через синус:

$$\sin(\varphi) = \frac{d}{h} = \frac{\frac{3a}{4}}{a \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3a \cdot 2}{4a \sqrt{3}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\varphi = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ$$

Ответ: 60°