1. Найдите величину двугранного угла, если из точек А и В, лежащих на его гранях, на ребро угла опущены перпендикуляры АА и ВВ1, причём АА₁ = 3, BB₁ = 4, A₁B₁ = 6, AB = 7.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой косинусов, которая связывает стороны и углы треугольника. Рассмотрим четырехугольник $$AA_1B_1B$$. Пусть $$\varphi$$ - величина двугранного угла между гранями.

По теореме косинусов для треугольника $$AB_1A_1$$: $$AB^2 = AA_1^2 + BB_1^2 - 2 \cdot AA_1 \cdot BB_1 \cdot \cos(\varphi)$$ Подставим известные значения: $$7^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(\varphi)$$ $$49 = 9 + 16 - 24 \cos(\varphi)$$ $$49 = 25 - 24 \cos(\varphi)$$ $$24 = -24 \cos(\varphi)$$ $$\cos(\varphi) = -1$$ $$\varphi = \arccos(-1)$$ $$\varphi = 180^\circ$$

Ответ: 180°