Найдите вероятность события «орел выпал ровно три раза».

Анализ задачи:

Монету бросают 5 раз. Каждое бросание независимо. Вероятность выпадения орла (О) равна 0.5, и вероятность выпадения решки (Р) также равна 0.5.

Нам нужно найти вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза из 5 бросков. Это задача на биномиальное распределение.

Формула Бернулли:

P(k успехов) = $$C^k_n \times p^k \times q^{(n-k)}$$

Где:

• $$n$$ = 5 (количество бросков)
• $$k$$ = 3 (количество орлов)
• $$p$$ = 0.5 (вероятность орла)
• $$q$$ = 1 - p = 0.5 (вероятность решки)
• $$C^k_n$$ — число сочетаний из $$n$$ по $$k$$.

Расчет:

1. Число сочетаний $$C^3_5$$:
• $$C^3_5 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$
2. Вероятность успеха в степени $$p^k$$:
• $$0.5^3 = 0.125$$
3. Вероятность неудачи в степени $$q^{(n-k)}$$:
• $$0.5^{(5-3)} = 0.5^2 = 0.25$$
4. Итоговая вероятность:
• P(3 орла) = $$10 \times 0.125 \times 0.25 = 10 \times 0.03125 = 0.3125$$
5. Переведем в дробь:
• $$0.3125 = \frac{3125}{10000} = \frac{625}{2000} = \frac{125}{400} = \frac{25}{80} = \frac{5}{16}$$

Ответ: $$\frac{5}{16}$$