4. Найдите x: a) $$A_x^2 = 30$$, б) $$A_x^3 = 42x$$, в) $$2 + 7x = A_{x+2}^2$$.

**a) $$A_x^2 = 30$$** $$A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1) = 30$$ $$x^2 - x - 30 = 0$$ $$(x-6)(x+5) = 0$$ $$x = 6$$ или $$x = -5$$. Так как x должен быть положительным целым числом, то $$x = 6$$. **б) $$A_x^3 = 42x$$** $$A_x^3 = \frac{x!}{(x-3)!} = x(x-1)(x-2) = 42x$$ Если $$x
eq 0$$, можно разделить обе части на x: $$(x-1)(x-2) = 42$$ $$x^2 - 3x + 2 = 42$$ $$x^2 - 3x - 40 = 0$$ $$(x-8)(x+5) = 0$$ $$x = 8$$ или $$x = -5$$. Так как x должен быть положительным целым числом, то $$x = 8$$. **в) $$2 + 7x = A_{x+2}^2$$** $$A_{x+2}^2 = \frac{(x+2)!}{(x+2-2)!} = \frac{(x+2)!}{x!} = (x+2)(x+1)$$ $$2 + 7x = (x+2)(x+1)$$ $$2 + 7x = x^2 + 3x + 2$$ $$x^2 - 4x = 0$$ $$x(x-4) = 0$$ $$x = 0$$ или $$x = 4$$. Так как $$A_{x+2}^2$$ должно быть определено, $$x$$ должно быть больше или равно 0. Однако, в формуле $$A_n^k$$ должно быть $$n \ge k$$, поэтому $$x+2 \ge 2$$, что всегда верно. Проверим оба значения. Если $$x = 0$$, то $$2 + 7(0) = A_2^2 = 2 \cdot 1 = 2$$. Равенство верно. Если $$x = 4$$, то $$2 + 7(4) = 30$$, и $$A_6^2 = 6 \cdot 5 = 30$$. Равенство верно. **Ответ:** a) 6 б) 8 в) 0, 4 **Разъяснение:** В каждом уравнении нужно выразить размещения через факториалы, упростить уравнение и решить его относительно x. Важно помнить, что x должно быть положительным целым числом, и что $$x \ge k$$ в выражении $$A_x^k$$.