634. Решите уравнение: а) $$\frac{3x+1}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = 1$$; б) $$\frac{2y-2}{y+2} + \frac{y+3}{y-3} = 5$$; в) $$\frac{4}{9y^2-1} + \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y}$$; г) $$\frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1$$; д) $$\frac{3}{x+1} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2-1}$$; е) $$\frac{3y-2}{y-2} = \frac{1}{y-2} + \frac{3y^2}{y^2-4}$$;

Решим уравнения.

1. а) $$\frac{3x+1}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = 1$$

   ОДЗ: $$x
   e -2; x
   e 2$$.

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(3x+1)(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{(x-1)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}$$

   $$ (3x+1)(x-2) + (x-1)(x+2) = (x+2)(x-2)$$ $$3x^2 - 6x + x - 2 + x^2 + 2x - x - 2 = x^2 - 4$$ $$4x^2 - 4x - 4 = x^2 - 4$$ $$3x^2 - 4x = 0$$ $$x(3x - 4) = 0$$ $$x_1 = 0; x_2 = \frac{4}{3}$$.

   Оба корня входят в ОДЗ.

   Ответ: 0; $$\frac{4}{3}$$.

2. б) $$\frac{2y-2}{y+2} + \frac{y+3}{y-3} = 5$$

   ОДЗ: $$y
   e -2; y
   e 3$$.

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(2y-2)(y-3)}{(y+2)(y-3)} + \frac{(y+3)(y+2)}{(y-3)(y+2)} = \frac{5(y+2)(y-3)}{(y-3)(y+2)}$$ $$(2y-2)(y-3) + (y+3)(y+2) = 5(y+2)(y-3)$$ $$2y^2 - 6y - 2y + 6 + y^2 + 2y + 3y + 6 = 5(y^2 - 3y + 2y - 6)$$ $$3y^2 - 3y + 12 = 5y^2 - 5y - 30$$ $$2y^2 - 2y - 42 = 0$$ $$y^2 - y - 21 = 0$$ $$D = 1 + 84 = 85$$ $$y_1 = \frac{1 + \sqrt{85}}{2}; y_2 = \frac{1 - \sqrt{85}}{2}$$.

   Оба корня входят в ОДЗ.

   Ответ: $$\frac{1 + \sqrt{85}}{2}; \frac{1 - \sqrt{85}}{2}$$.

3. в) $$\frac{4}{9y^2-1} + \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y}$$

   Преобразуем уравнение:

   $$\frac{4}{(3y+1)(3y-1)} + \frac{4}{3y+1} = -\frac{5}{3y-1}$$

   ОДЗ: $$y
   e -\frac{1}{3}; y
   e \frac{1}{3}$$.

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{4}{(3y+1)(3y-1)} + \frac{4(3y-1)}{(3y+1)(3y-1)} = -\frac{5(3y+1)}{(3y-1)(3y+1)}$$ $$4 + 12y - 4 = -15y - 5$$ $$27y = -5$$ $$y = -\frac{5}{27}$$.

   Корень входит в ОДЗ.

   Ответ: $$\frac{-5}{27}$$.

4. г) $$\frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1$$

   Преобразуем уравнение:

   $$\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} - 1$$

   ОДЗ: $$x
   e -3; x
   e 3$$.

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{4(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{5(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{1(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)}$$ $$4x - 12 + 5x + 15 = x + 3 - (x^2 - 9)$$ $$9x + 3 = x + 3 - x^2 + 9$$ $$x^2 + 8x - 9 = 0$$ $$x_1 + x_2 = -8; x_1 \cdot x_2 = -9$$ $$x_1 = 1; x_2 = -9$$.

   Оба корня входят в ОДЗ.

   Ответ: 1; -9.

5. д) $$\frac{3}{x+1} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2-1}$$

   ОДЗ: $$x
   e -1; x
   e 1$$.

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{4(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{5-x}{(x+1)(x-1)}$$ $$3x - 3 + 4x + 4 = 5 - x$$ $$7x + 1 = 5 - x$$ $$8x = 4$$ $$x = \frac{1}{2}$$.

   Корень входит в ОДЗ.

   Ответ: $$\frac{1}{2}$$.

6. е) $$\frac{3y-2}{y-2} = \frac{1}{y-2} + \frac{3y^2}{y^2-4}$$

   ОДЗ: $$y
   e -2; y
   e 2$$.

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(3y-2)(y+2)}{(y-2)(y+2)} = \frac{y+2}{(y-2)(y+2)} + \frac{3y^2}{(y-2)(y+2)}$$ $$(3y-2)(y+2) = y+2 + 3y^2$$ $$3y^2 + 6y - 2y - 4 = y + 2 + 3y^2$$ $$4y - 4 = y + 2$$ $$3y = 6$$ $$y = 2$$.

   Корень не входит в ОДЗ.

   Ответ: нет решений.