1. Найдите значение выражения: 1) 3√48+4√(-5)²-32+√(-5)⁴ ; 2) √27⋅0.008 ; 3)√√37+8⋅√√37-8

1) $$3\sqrt{48}+4\sqrt{(-5)^2}-32+\sqrt[4]{(-5)^4}$$.

1. $$3\sqrt{48} = 3\sqrt{16\cdot 3} = 3\cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$$.
2. $$4\sqrt{(-5)^2} = 4\cdot |-5| = 4\cdot 5 = 20$$.
3. $$\sqrt[4]{(-5)^4} = |-5| = 5$$.
4. Подставим полученные значения в выражение: $$12\sqrt{3} + 20 - 32 + 5 = 12\sqrt{3} - 7$$.

2) $$\sqrt[3]{27\cdot 0.008}$$.

1. $$\sqrt[3]{27\cdot 0.008} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{0.008} = 3 \cdot 0.2 = 0.6$$.

3) $$\sqrt{\sqrt{37+8\sqrt{3}} \cdot \sqrt{37-8\sqrt{3}}}$$.

1. $$\sqrt{\sqrt{37+8\sqrt{3}} \cdot \sqrt{37-8\sqrt{3}}} = \sqrt{\sqrt{(37+8\sqrt{3})(37-8\sqrt{3})}}$$.
2. $$\sqrt{\sqrt{37^2 - (8\sqrt{3})^2}} = \sqrt{\sqrt{1369 - 64 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{1369 - 192}} = \sqrt{\sqrt{1177}} = \sqrt{34.307...}$$.
3. $$\sqrt{1177} = \sqrt{1225-48} = \sqrt{35^2 - 48}$$.
4. $$\sqrt{37+8\sqrt{37-8}} = \sqrt{37+8(37-8)} = \sqrt{37+8(29)} = \sqrt{37+232} = \sqrt{269} = 16.401...$$
5. Условие выглядит как $$\sqrt{\sqrt{37+8\sqrt{37-8}}}$$, возможно опечатка и должно быть $$\sqrt{\sqrt{37+8\sqrt{3}}\cdot \sqrt{37-8\sqrt{3}}}}$$, тогда решение такое:
6. $$\sqrt{\sqrt{37+8\sqrt{3}}\cdot \sqrt{37-8\sqrt{3}}}} = \sqrt{\sqrt{(37+8\sqrt{3})(37-8\sqrt{3})}} = \sqrt{\sqrt{37^2-(8\sqrt{3})^2}}=\sqrt{\sqrt{1369-192}} = \sqrt{\sqrt{1177}} = \sqrt{34.307...}$$
7. Либо $$\sqrt[3]{\sqrt{37+8} \cdot \sqrt{37-8}} = \sqrt[3]{\sqrt{45 \cdot 29}} = \sqrt[3]{\sqrt{1305}} = \sqrt[6]{1305} = 3.408...$$.

Ответ: 1) $$12\sqrt{3}-7$$; 2) $$0.6$$; 3) $$\sqrt[4]{1177}$$