Найдите значение выражения 6⁻³ ⋅ 18⁷ / 2¹⁰

Решение:

Чтобы упростить выражение, представим все числа в виде простых множителей.

\( 6 = 2 \cdot 3 \)

\( 18 = 2 \cdot 3^2 \)

Подставим эти значения в выражение:

\( \frac{6^{-3} \cdot 18^7}{2^{10}} = \frac{(2 \cdot 3)^{-3} \cdot (2 \cdot 3^2)^7}{2^{10}} \)

Используем свойства степеней \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) и \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\( \frac{2^{-3} \cdot 3^{-3} \cdot 2^7 \cdot (3^2)^7}{2^{10}} = \frac{2^{-3} \cdot 3^{-3} \cdot 2^7 \cdot 3^{14}}{2^{10}} \)

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

\( \frac{(2^{-3} \cdot 2^7) \cdot (3^{-3} \cdot 3^{14})}{2^{10}} = \frac{2^{-3+7} \cdot 3^{-3+14}}{2^{10}} = \frac{2^4 \cdot 3^{11}}{2^{10}} \)

Теперь выполним деление степеней с основанием 2:

\( 2^{4-10} \cdot 3^{11} = 2^{-6} \cdot 3^{11} = \frac{3^{11}}{2^6} \)

\( 2^6 = 64 \)

\( 3^{11} = 3^5 \cdot 3^5 \cdot 3 = 243 \cdot 243 \cdot 3 = 59049 \cdot 3 = 177147 \)

\( \frac{177147}{64} \)

Ответ: \(\frac{177147}{64}\)