Найдите значение выражения \( (m - n)^2 - (m + n)^2 \), если \( m = -1 \), \( n = 4 \).

Задание: Вычисление значения выражения

Выражение: \( (m - n)^2 - (m + n)^2 \)

Дано: \( m = -1 \), \( n = 4 \)

Решение:

Способ 1: Раскрытие скобок

1. Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \( (m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 \)
2. Раскроем вторую скобку по формуле квадрата суммы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \): \( (m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 \)
3. Подставим раскрытые скобки в исходное выражение: \( (m^2 - 2mn + n^2) - (m^2 + 2mn + n^2) \)
4. Раскроем вторую скобку, меняя знаки: \( m^2 - 2mn + n^2 - m^2 - 2mn - n^2 \)
5. Приведём подобные слагаемые: \( (m^2 - m^2) + (n^2 - n^2) + (-2mn - 2mn) = 0 + 0 - 4mn = -4mn \)
6. Подставим значения \( m = -1 \) и \( n = 4 \): \( -4 \cdot (-1) \cdot 4 \)
7. Вычислим: \( -4 \cdot (-1) = 4 \); \( 4 \cdot 4 = 16 \)

Способ 2: Использование формулы разности квадратов

1. Заметим, что выражение имеет вид \( A^2 - B^2 \), где \( A = (m - n) \) и \( B = (m + n) \).
2. Используем формулу разности квадратов: \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \).
3. Подставим \( A \) и \( B \): \( ((m - n) - (m + n))((m - n) + (m + n)) \)
4. Упростим выражения в скобках:
5. Первая скобка: \( (m - n - m - n) = -2n \)
6. Вторая скобка: \( (m - n + m + n) = 2m \)
7. Перемножим результаты: \( (-2n)(2m) = -4mn \)
8. Подставим значения \( m = -1 \) и \( n = 4 \): \( -4 \cdot (-1) \cdot 4 \)
9. Вычислим: \( -4 \cdot (-1) = 4 \); \( 4 \cdot 4 = 16 \)

Ответ: 16