Найдите значение выражения \( \sqrt{9a^2 + 6ab + b^2} \).

Решение:

Выражение под корнем является полным квадратом суммы \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).

В нашем случае \( x^2 = 9a^2 \) (значит \( x = 3a \)) и \( y^2 = b^2 \) (значит \( y = b \)). Проверим средний член: \( 2xy = 2 \cdot 3a \cdot b = 6ab \). Это совпадает с выражением под корнем.

Таким образом, \( 9a^2 + 6ab + b^2 = (3a + b)^2 \).

Теперь извлечём квадратный корень:

\( \sqrt{(3a + b)^2} = |3a + b| \)

Ответ: \( |3a + b| \).