Найдите значение выражения \( \sqrt{a^2 + 12ab + 36b^2} \) при \( a = 7 \) и \( b = -3 \).

Решение:

Выражение под корнем является полным квадратом суммы \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).

В нашем случае \( x^2 = a^2 \) (значит \( x = a \)) и \( y^2 = 36b^2 \) (значит \( y = 6b \)). Проверим средний член: \( 2xy = 2 \cdot a \cdot 6b = 12ab \). Это совпадает с выражением под корнем.

Таким образом, \( a^2 + 12ab + 36b^2 = (a + 6b)^2 \).

Теперь извлечём квадратный корень:

\( \sqrt{(a + 6b)^2} = |a + 6b| \)

Подставим значения \( a = 7 \) и \( b = -3 \):

\( |7 + 6 \cdot (-3)| = |7 - 18| = |-11| \)

\( |-11| = 11 \)

Ответ: 11.