Найдите значение выражения \(\sqrt{a^2+18ab+81b^2}\) при \(a=2\frac{4}{13}, b=\frac{1}{13}\).

Решение:

1. Заметим, что выражение под корнем является полным квадратом: \(a^2+18ab+81b^2 = (a+9b)^2\).
2. Извлечём квадратный корень: \(\sqrt{(a+9b)^2} = |a+9b|\).
3. Подставим значения \(a=2\frac{4}{13} = \frac{2 \cdot 13 + 4}{13} = \frac{30}{13}\) и \(b=\frac{1}{13}\).
4. Вычислим значение выражения: \(|\frac{30}{13} + 9 \cdot \frac{1}{13}| = |\frac{30}{13} + \frac{9}{13}| = |\frac{39}{13}| = |3| = 3\).

Ответ: 3.