5. Найдите значение выражения x² + 6xy / x² - 36y² * x / x² + 6xy при х = 4-6√6, y = 8-√6.

Выполним упрощение выражения:

$$\frac{x^2 + 6xy}{x^2 - 36y^2} \cdot \frac{x}{x^2 + 6xy} = \frac{x(x + 6y)}{(x - 6y)(x + 6y)} \cdot \frac{x}{x(x + 6y)} = \frac{x}{(x - 6y)(x + 6y)} \cdot \frac{x}{x(x + 6y)} = \frac{x}{(x - 6y)(x + 6y)} \cdot \frac{1}{x + 6y} = \frac{1}{(x-6y)(x+6y)} = \frac{1}{x^2-36y^2}$$.

Подставим значения x и y:

$$x = 4 - 6\sqrt{6}$$, $$y = 8 - \sqrt{6}$$.

$$x^2 = (4 - 6\sqrt{6})^2 = 16 - 48\sqrt{6} + 36 \cdot 6 = 16 - 48\sqrt{6} + 216 = 232 - 48\sqrt{6}$$.

$$y^2 = (8 - \sqrt{6})^2 = 64 - 16\sqrt{6} + 6 = 70 - 16\sqrt{6}$$.

$$36y^2 = 36(70 - 16\sqrt{6}) = 2520 - 576\sqrt{6}$$.

$$x^2 - 36y^2 = (232 - 48\sqrt{6}) - (2520 - 576\sqrt{6}) = 232 - 2520 - 48\sqrt{6} + 576\sqrt{6} = -2288 + 528\sqrt{6}$$.

$$\frac{x^2 + 6xy}{x^2 - 36y^2} \cdot \frac{x}{x^2 + 6xy} = \frac{x}{x^2-36y^2} = \frac{4 - 6\sqrt{6}}{-2288 + 528\sqrt{6}}$$.

Исходное выражение: $$\frac{x^2 + 6xy}{x^2 - 36y^2} \div \frac{x}{x^2 + 6xy}$$.

Упрощаем выражение:

$$\frac{x(x+6y)}{(x-6y)(x+6y)} : \frac{x}{x(x+6y)} = \frac{x(x+6y)}{(x-6y)(x+6y)} \cdot \frac{x(x+6y)}{x} = \frac{x(x+6y)x(x+6y)}{(x-6y)(x+6y)x} = \frac{x(x+6y)}{(x-6y)} = \frac{x^2+6xy}{x-6y}$$.

Теперь подставим значения $$x = 4-6\sqrt{6}$$, $$y = 8-\sqrt{6}$$.

$$x^2 = (4-6\sqrt{6})^2 = 16 - 48\sqrt{6} + 36*6 = 16 - 48\sqrt{6} + 216 = 232 - 48\sqrt{6}$$.

$$6xy = 6(4-6\sqrt{6})(8-\sqrt{6}) = 6(32 - 4\sqrt{6} - 48\sqrt{6} + 36) = 6(68 - 52\sqrt{6}) = 408 - 312\sqrt{6}$$.

$$x^2 + 6xy = 232 - 48\sqrt{6} + 408 - 312\sqrt{6} = 640 - 360\sqrt{6}$$.

$$6y = 6(8-\sqrt{6}) = 48-6\sqrt{6}$$.

$$x-6y = 4-6\sqrt{6} - (48 - 6\sqrt{6}) = 4 - 48 - 6\sqrt{6} + 6\sqrt{6} = -44$$.

$$\frac{640-360\sqrt{6}}{-44} = \frac{160 - 90\sqrt{6}}{-11} = \frac{90\sqrt{6} - 160}{11}$$.

Ответ: (90√6 - 160) / 11