7. Найдите значение выражения (2x^2/a^3)^4 / (a^2/4x^4)^2 при a = 1/3 и x = √5/6

Решение:

Сначала упростим выражение:

\[\frac{\left(\frac{2x^2}{a^3}\right)^4}{\left(\frac{a^2}{4x^4}\right)^2} = \frac{\frac{(2x^2)^4}{(a^3)^4}}{\frac{(a^2)^2}{(4x^4)^2}} = \frac{\frac{16x^8}{a^{12}}}{\frac{a^4}{16x^8}} = \frac{16x^8}{a^{12}} \cdot \frac{16x^8}{a^4} = \frac{256x^{16}}{a^{16}} = 256\left(\frac{x}{a}\right)^{16}\]

Теперь подставим значения \( a = \frac{1}{3} \) и \( x = \frac{\sqrt{5}}{6} \):

\[256\left(\frac{\frac{\sqrt{5}}{6}}{\frac{1}{3}}\right)^{16} = 256\left(\frac{\sqrt{5}}{6} \cdot 3\right)^{16} = 256\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{16} = 256\left(\frac{5^8}{2^{16}}\right) = 256\frac{5^8}{2^{16}} = 2^8\frac{5^8}{2^{16}} = \frac{5^8}{2^8} = \left(\frac{5}{2}\right)^8 = \left(2.5\right)^8 = 1525.87890625\]

Ответ: 1525.87890625