2. Найти экстремумы функции: 1) f(x) = x³ - 2x² + x + 3; 2) f(x) = ex (2x – 3).

1) Найдем экстремумы функции $$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$$.

Найдем первую производную функции: $$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$.

Приравняем первую производную к нулю: $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$.

Корни этого уравнения (стационарные точки): $$x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{3}$$.

Для определения характера экстремума найдем вторую производную: $$f''(x) = 6x - 4$$.

Вычислим значения второй производной в стационарных точках:

$$f''(1) = 6 \cdot 1 - 4 = 2 > 0$$ (минимум)

$$f''(\frac{1}{3}) = 6 \cdot \frac{1}{3} - 4 = 2 - 4 = -2 < 0$$ (максимум)

Вычислим значения функции в точках экстремума:

$$f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$$ (минимум)

$$f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1 - 6 + 9 + 81}{27} = \frac{85}{27} \approx 3.15$$ (максимум)

2) Найдем экстремумы функции $$f(x) = e^x(2x - 3)$$.

Найдем первую производную функции: $$f'(x) = e^x(2x - 3) + e^x \cdot 2 = e^x(2x - 3 + 2) = e^x(2x - 1)$$.

Приравняем первую производную к нулю: $$e^x(2x - 1) = 0$$.

Так как $$e^x > 0$$ для всех $$x$$, то $$2x - 1 = 0$$, откуда $$x = \frac{1}{2}$$.

Для определения характера экстремума найдем вторую производную: $$f''(x) = e^x(2x - 1) + e^x \cdot 2 = e^x(2x - 1 + 2) = e^x(2x + 1)$$.

Вычислим значение второй производной в точке $$x = \frac{1}{2}$$: $$f''(\frac{1}{2}) = e^{\frac{1}{2}}(2 \cdot \frac{1}{2} + 1) = 2e^{\frac{1}{2}} > 0$$ (минимум).

Вычислим значение функции в точке экстремума: $$f(\frac{1}{2}) = e^{\frac{1}{2}}(2 \cdot \frac{1}{2} - 3) = e^{\frac{1}{2}}(1 - 3) = -2e^{\frac{1}{2}} \approx -3.297$$.

Ответ: 1) max $$f(\frac{1}{3})=\frac{85}{27}$$, min $$f(1)=3$$; 2) min $$f(\frac{1}{2})=-2e^{\frac{1}{2}}$$