5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³- 2x² + x + 3 на отрезке [0; ].

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$$ на отрезке $$\left[0; \frac{3}{2}\right]$$.

Находим первую производную: $$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$.

Приравниваем к нулю: $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$.

Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$

$$x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = 1$$

$$x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}$$

Обе стационарные точки $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = \frac{1}{3}$$ принадлежат отрезку $$\left[0; \frac{3}{2}\right]$$.

Находим значения функции на концах отрезка и в стационарных точках:

$$f(0) = 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 0 + 3 = 3$$

$$f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1 - 6 + 9 + 81}{27} = \frac{85}{27} \approx 3.15$$

$$f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$$

$$f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^3 - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27}{8} - \frac{18}{4} + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27 - 36 + 12 + 24}{8} = \frac{27}{8} = 3.375$$

Наименьшее значение функции: $$f(0) = f(1) = 3$$.

Наибольшее значение функции: $$f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{27}{8} = 3.375$$.

Ответ: Наибольшее: $$f(\frac{3}{2})=\frac{27}{8}$$, наименьшее: $$f(0)=f(1)=3$$