6. Среди прямоугольников, сумма длин трёх сторон кото- рых равна 20, найти прямоугольник наибольшей пло- щади.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - стороны прямоугольника.

Тогда условие задачи можно записать как $$a + b + a = 20$$ или $$2a + b = 20$$, откуда $$b = 20 - 2a$$.

Площадь прямоугольника равна $$S = a \cdot b = a(20 - 2a) = 20a - 2a^2$$.

Нужно найти значение $$a$$, при котором площадь $$S$$ максимальна.

Найдем производную функции $$S(a) = 20a - 2a^2$$, $$S'(a) = 20 - 4a$$.

Приравняем производную к нулю: $$20 - 4a = 0$$, откуда $$a = 5$$.

Найдем вторую производную: $$S''(a) = -4 < 0$$, значит, в точке $$a = 5$$ функция $$S(a)$$ достигает максимума.

Тогда $$b = 20 - 2 \cdot 5 = 20 - 10 = 10$$.

Площадь прямоугольника равна $$S = 5 \cdot 10 = 50$$.

Ответ: стороны 5 и 10, площадь 50