3. Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x³- 2x² + x + 3.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции $$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$$.

Найдем первую производную функции: $$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$.

Решим неравенство $$f'(x) > 0$$:

$$3x^2 - 4x + 1 > 0$$.

Корни квадратного трехчлена: $$x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{3}$$.

Решением неравенства являются промежутки $$(-\infty; \frac{1}{3})$$ и $$(1; +\infty)$$.

Это промежутки возрастания функции.

Промежутки убывания функции - это решения неравенства $$f'(x) < 0$$:

$$3x^2 - 4x + 1 < 0$$.

Решением неравенства является промежуток $$(\frac{1}{3}; 1)$$.

Ответ: возрастает: $$(-\infty; \frac{1}{3}) \cup (1; +\infty)$$, убывает: $$(\frac{1}{3}; 1)$$