Найти общий вид первообразных для функции. 8. y = (cosx + sinx)²

Решение:

• Раскроем квадрат суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
• \( y = \cos^2x + 2 − − − − − \sin x \cos x + \sin^2x \).
• Используем формулы: \( \cos^2x + \sin^2x = 1 \) и \( 2 − − − − − \sin x \cos x = \sin(2x) \).
• Тогда \( y = 1 + \sin(2x) \).
• Находим первообразную: \( \int (1 + \sin(2x)) dx = \int 1 dx + \int \sin(2x) dx \).
• \( \int 1 dx = x + C_1 \).
• \( \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C_2 \).
• Суммируем: \( x - \frac{1}{2} \cos(2x) + C \).

Ответ: С = x - 1/2 cos(2x) + C