3. Найти периметр правильного треугольника, его площадь, радиус вписанной и описанной окружности, если его сторона равна $$5\sqrt{3}$$ см.

Решение: 1. Периметр правильного треугольника: Периметр правильного (равностороннего) треугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть: $$P = 3 * a$$, где a - сторона треугольника. В нашем случае, $$a = 5\sqrt{3}$$ см, поэтому: $$P = 3 * 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$$ см. 2. Площадь правильного треугольника: Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле: $$S = \frac{a^2 * \sqrt{3}}{4}$$. В нашем случае, $$a = 5\sqrt{3}$$ см, поэтому: $$S = \frac{(5\sqrt{3})^2 * \sqrt{3}}{4} = \frac{25 * 3 * \sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4}$$ см$$^2$$. 3. Радиус вписанной окружности: Радиус вписанной в правильный треугольник окружности вычисляется по формуле: $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$. В нашем случае, $$a = 5\sqrt{3}$$ см, поэтому: $$r = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{2} = 2.5$$ см. 4. Радиус описанной окружности: Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$. В нашем случае, $$a = 5\sqrt{3}$$ см, поэтому: $$R = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5$$ см. Ответ: * Периметр: $$15\sqrt{3}$$ см * Площадь: $$\frac{75\sqrt{3}}{4}$$ см$$^2$$ * Радиус вписанной окружности: 2.5 см * Радиус описанной окружности: 5 см