Найти площадь боковой поверхности пирамиды (рис. 1).

Разбор задания

Рисунок 1 изображает правильную четырехугольную пирамиду. Для нахождения площади боковой поверхности необходимо знать апофему (высоту боковой грани) и периметр основания. В данном случае, на рисунке указана длина бокового ребра (6) и угол между боковым ребром и высотой основания (30°), что позволяет вычислить необходимые параметры.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определение параметров основания.
   • Пирамида правильная четырехугольная, значит, в основании лежит квадрат.
   • О — центр квадрата, S — вершина пирамиды. SO — высота пирамиды.
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC. Угол SCO = 30°.
   • В основании лежит квадрат ABCD. Точка O — центр квадрата.
   • Длина бокового ребра SC = 6.
   • В треугольнике SOC, SO = SC * sin(30°) = 6 * 0.5 = 3.
   • OC = SC * cos(30°) = 6 * (√3/2) = 3√3.
   • OC — половина диагонали квадрата. Диагональ AC = 2 * OC = 6√3.
   • Сторона квадрата a = AC / √2 = (6√3) / √2 = 6√6 / 2 = 3√6.
   • Периметр основания P = 4 * a = 4 * 3√6 = 12√6.
2. Шаг 2: Нахождение апофемы.
   • Апофема (h_a) — высота боковой грани, например, треугольника SBC.
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC. Угол CSO = 90° - 30° = 60°.
   • В треугольнике SBC, проведем апофему SM.
   • В прямоугольном треугольнике SOM (где M — середина BC), OM = a / 2 = (3√6) / 2.
   • SO = 3 (из Шага 1).
   • Апофема h_a = SM = √((SO)² + (OM)²) = √(3² + ((3√6)/2)²) = √(9 + (9*6)/4) = √(9 + 54/4) = √(9 + 27/2) = √((18+27)/2) = √(45/2) = √(9*5/2) = 3√(5/2) = 3√10 / 2.
3. Шаг 3: Вычисление площади боковой поверхности.
   • Площадь боковой поверхности (S_бок) правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: S_бок = (1/2) * P * h_a.
   • S_бок = (1/2) * (12√6) * (3√10 / 2) = 6√6 * 3√10 / 2 = 18√60 / 2 = 9√60.
   • √60 = √(4 * 15) = 2√15.
   • S_бок = 9 * 2√15 = 18√15.

Ответ: 18√15