Найти площадь полной поверхности пирамиды (рис. 3). Дано: SO = 2√7.

Разбор задания

Рисунок 3 изображает правильную четырехугольную пирамиду. Дана высота пирамиды SO = 2√7. Для нахождения площади полной поверхности необходимо вычислить площадь основания и площадь боковой поверхности. На рисунке также указана длина бокового ребра, равная 10.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Расчет площади основания.
   • Пусть сторона основания равна 'a'.
   • На рисунке указано, что длина бокового ребра равна 10.
   • В прямоугольном треугольнике SOC (где O — центр основания, C — вершина основания), SC = 10 (боковое ребро), SO = 2√7 (высота).
   • По теореме Пифагора: OC² + SO² = SC².
   • OC² + (2√7)² = 10².
   • OC² + (4 * 7) = 100.
   • OC² + 28 = 100.
   • OC² = 100 - 28 = 72.
   • OC = √72 = √(36 * 2) = 6√2.
   • OC — половина диагонали квадрата. Диагональ квадрата d = 2 * OC = 12√2.
   • Сторона квадрата 'a' связана с диагональю формулой d = a√2.
   • a√2 = 12√2 => a = 12.
   • Площадь основания (S_осн) = a² = 12² = 144.
2. Шаг 2: Нахождение апофемы.
   • Пусть M — середина стороны основания CD. SM — апофема.
   • В прямоугольном треугольнике SOM, SO = 2√7, OM = a / 2 = 12 / 2 = 6.
   • По теореме Пифагора: SM² = SO² + OM².
   • SM² = (2√7)² + 6² = 28 + 36 = 64.
   • SM = √64 = 8.
   • Апофема h_a = 8.
3. Шаг 3: Расчет площади боковой поверхности.
   • Периметр основания P = 4 * a = 4 * 12 = 48.
   • Площадь боковой поверхности (S_бок) = (1/2) * P * h_a = (1/2) * 48 * 8 = 24 * 8 = 192.
4. Шаг 4: Расчет площади полной поверхности.
   • Площадь полной поверхности (S_полн) = S_осн + S_бок.
   • S_полн = 144 + 192 = 336.

Ответ: 336