Найти площадь полной поверхности пирамиды (рис. 6). Дано: АВ = а

Разбор задания

Рисунок 6 изображает правильную четырехугольную пирамиду. Дана сторона основания AB = a. Угол α обозначен как угол наклона боковой грани к основанию. Для нахождения площади полной поверхности необходимо вычислить площадь основания и площадь боковой поверхности.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Расчет площади основания.
   • Основание — квадрат ABCD со стороной a.
   • Площадь основания (S_осн) = a² .
2. Шаг 2: Нахождение апофемы.
   • O — центр основания, S — вершина пирамиды. SO — высота.
   • Пусть M — середина стороны основания BC. SM — апофема.
   • Угол между боковой гранью (SBC) и основанием (ABCD) — это угол SMO = α.
   • OM = a / 2.
   • В прямоугольном треугольнике SMO:
   • tg(α) = SO / OM => SO = OM * tg(α) = (a/2) * tg(α).
   • cos(α) = OM / SM => SM = OM / cos(α) = (a/2) / cos(α) = a / (2 * cos(α)).
   • Апофема h_a = a / (2 * cos(α)).
3. Шаг 3: Расчет площади боковой поверхности.
   • Периметр основания P = 4 * a.
   • Площадь боковой поверхности (S_бок) = (1/2) * P * h_a = (1/2) * (4a) * (a / (2 * cos(α))).
   • S_бок = 2a * (a / (2 * cos(α))) = a² / cos(α).
4. Шаг 4: Расчет площади полной поверхности.
   • Площадь полной поверхности (S_полн) = S_осн + S_бок.
   • S_полн = a² + a² / cos(α).
   • S_полн = a² * (1 + 1/cos(α)).

Ответ: S_полн = a² (1 + 1/cos(α))