Найти площадь полной поверхности пирамиды (рис. 2).

Разбор задания

Рисунок 2 изображает правильную четырехугольную пирамиду. Дан стороны основания (4) и угол между боковой гранью и основанием (60°). Для нахождения площади полной поверхности необходимо вычислить площадь основания и площадь боковой поверхности.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Расчет площади основания.
   • Основание — квадрат со стороной a = 4.
   • Площадь основания (S_осн) = a² = 4² = 16.
2. Шаг 2: Нахождение апофемы.
   • O — центр основания, SO — высота пирамиды.
   • Пусть M — середина стороны основания CD. SM — апофема.
   • Угол между боковой гранью (SCD) и основанием (ABCD) — это угол SMO = 60°.
   • OM = a / 2 = 4 / 2 = 2.
   • В прямоугольном треугольнике SMO:
   • tg(60°) = SO / OM => SO = OM * tg(60°) = 2 * √3 = 2√3.
   • cos(60°) = OM / SM => SM = OM / cos(60°) = 2 / 0.5 = 4.
   • Апофема h_a = SM = 4.
3. Шаг 3: Расчет площади боковой поверхности.
   • Периметр основания P = 4 * a = 4 * 4 = 16.
   • Площадь боковой поверхности (S_бок) = (1/2) * P * h_a = (1/2) * 16 * 4 = 32.
4. Шаг 4: Расчет площади полной поверхности.
   • Площадь полной поверхности (S_полн) = S_осн + S_бок.
   • S_полн = 16 + 32 = 48.

Ответ: 48