4. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями 1) Параболой у = х²+ 10 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0; 1);

Разбираемся:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными, нужно найти уравнения касательных, точки касания, а затем вычислить интеграл разности функций.

Пошаговое решение:

1. Находим уравнение касательной к параболе:

   Пусть точка касания имеет координаты \((x_0, y_0)\), где \(y_0 = x_0^2 + 10\). Уравнение касательной к параболе \(y = x^2 + 10\) в точке \(x_0\) имеет вид:

   \[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\]

   Производная функции \(f(x) = x^2 + 10\) равна \(f'(x) = 2x\). Следовательно, в точке \(x_0\) производная равна \(2x_0\).

   Уравнение касательной:

   \[y = 2x_0(x - x_0) + x_0^2 + 10\]

2. Используем условие прохождения касательной через точку (0; 1):

   Подставляем координаты точки (0; 1) в уравнение касательной:

   \[1 = 2x_0(0 - x_0) + x_0^2 + 10\]

   \[1 = -2x_0^2 + x_0^2 + 10\]

   \[x_0^2 = 9\]

   \[x_0 = \pm 3\]

3. Находим уравнения касательных:

   Для \(x_0 = 3\): \(y_0 = 3^2 + 10 = 19\). Уравнение касательной: \(y = 2 \cdot 3 (x - 3) + 19 = 6x + 1\).

   Для \(x_0 = -3\): \(y_0 = (-3)^2 + 10 = 19\). Уравнение касательной: \(y = 2 \cdot (-3) (x + 3) + 19 = -6x + 1\).

4. Находим точки пересечения параболы с касательными:

   Касательные пересекаются с параболой в точках касания \((-3, 19)\) и \((3, 19)\). Чтобы найти точки пересечения касательных, приравниваем их уравнения:

   \[6x + 1 = -6x + 1\]

   \[12x = 0\]

   \[x = 0\]

   Таким образом, касательные пересекаются в точке (0; 1).

5. Вычисляем площадь фигуры:

   Площадь фигуры можно найти как интеграл разности параболы и касательных на промежутке от -3 до 3:

   \[S = \int_{-3}^{0} (x^2 + 10 - (-6x + 1)) dx + \int_{0}^{3} (x^2 + 10 - (6x + 1)) dx\]

   \[= \int_{-3}^{0} (x^2 + 6x + 9) dx + \int_{0}^{3} (x^2 - 6x + 9) dx\]

   \[= \left[\frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x\right]_{-3}^{0} + \left[\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x\right]_{0}^{3}\]

   \[= (0 - (\frac{-27}{3} + 3 \cdot 9 - 27)) + ((\frac{27}{3} - 3 \cdot 9 + 27) - 0)\]

   \[= -(-9 + 27 - 27) + (9 - 27 + 27) = 9 + 9 = 18\]

Ответ: 18