5. Вычислите объем тела, полученного вращением кривой – графика функции у = х², -2 ≤ х ≤ 2, вокруг оси Оу.

Разбираемся:

Чтобы вычислить объем тела, полученного вращением кривой вокруг оси Oy, можно использовать метод дисков или метод цилиндрических оболочек.

Пошаговое решение:

1. Используем метод цилиндрических оболочек:

   Объем тела, полученного вращением кривой \(y = f(x)\) вокруг оси Oy на интервале \([a, b]\), вычисляется по формуле:

   \[V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) dx\]

   В нашем случае, \(f(x) = x^2\), \(a = -2\) и \(b = 2\). Таким образом:

   \[V = 2\pi \int_{-2}^{2} x \cdot x^2 dx = 2\pi \int_{-2}^{2} x^3 dx\]

2. Вычисляем интеграл:

   \[V = 2\pi \int_{-2}^{2} x^3 dx = 2\pi \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-2}^{2}\]

   \[= 2\pi \left(\frac{2^4}{4} - \frac{(-2)^4}{4}\right) = 2\pi \left(\frac{16}{4} - \frac{16}{4}\right) = 2\pi (4 - 4) = 0\]

Ответ: 0