3. Найти площадь S фигуры, ограниченной параболами у = х² и у = 2x² - 1.

Разбираемся:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя параболами, нам нужно найти точки пересечения парабол, а затем вычислить интеграл разности функций на промежутке между этими точками.

Пошаговое решение:

1. Находим точки пересечения парабол:

   Для этого приравниваем уравнения парабол:

   \[x^2 = 2x^2 - 1\]

   \[x^2 - 1 = 0\]

   \[x^2 = 1\]

   \[x = \pm 1\]

   Таким образом, точки пересечения: x = -1 и x = 1.

2. Вычисляем интеграл разности функций:

   Находим интеграл от разности функций на промежутке от -1 до 1:

   \[S = \int_{-1}^{1} |(2x^2 - 1) - x^2| dx = \int_{-1}^{1} |x^2 - 1| dx\]

   Так как \(x^2 - 1\) отрицательна на интервале \((-1, 1)\), мы меняем знак под интегралом:

   \[S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx\]

   \[= \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 - \frac{-1}{3}\right)\]

   \[= \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}\]

Ответ: 4/3