2.5. Найти проекцию вектора а = {√2; -3; -5} на ось, составляющую с координатными осями Ох и Ог углы 45° и 60° соответственно, а с осью Оу – острый угол.

Разбираемся:

Для нахождения проекции вектора \(\vec{a}\) на ось, нам потребуется найти направляющий вектор этой оси. Зная углы, которые ось составляет с координатными осями Ox, Oy и Oz, мы можем найти косинусы этих углов, которые и будут координатами направляющего вектора.

Пошаговое решение:

1. Найдем угол \(\gamma\) между осью и осью Oy:

   Пусть \(\alpha, \beta, \gamma\) - углы между осью и осями Ox, Oy, Oz соответственно. Тогда выполняется соотношение:

   \[\cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) = 1\]

   Из условия \(\alpha = 45^\circ\) и \(\gamma = 60^\circ\), следовательно: \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\)

   Подставляем значения:

   \[(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \cos^2(\beta) + (\frac{1}{2})^2 = 1\]

   \[\frac{1}{2} + \cos^2(\beta) + \frac{1}{4} = 1\]

   \[\cos^2(\beta) = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\]

   \[\cos(\beta) = \pm \frac{1}{2}\]

   Т.к. угол с осью Oy острый, то \(\cos(\beta) = \frac{1}{2}\), и \(\beta = 60^\circ\)

2. Найдем единичный направляющий вектор \(\vec{e}\) оси:

   \[\vec{e} = (\cos(\alpha); \cos(\beta); \cos(\gamma)) = (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})\]

3. Найдем проекцию вектора \(\vec{a}\) на ось:

   Проекция вектора \(\vec{a}\) на ось равна скалярному произведению вектора \(\vec{a}\) и единичного направляющего вектора \(\vec{e}\) оси:

   \[\text{пр}_{\vec{e}} \vec{a} = (\vec{a}, \vec{e}) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-3) \cdot \frac{1}{2} + (-5) \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = 1 - 4 = -3\]

Ответ: Проекция вектора \(\vec{a}\) на ось равна -3.