2.1. Дано: |a|= 5, |Б| = 2, q = (a,b) = п/3. Вычислить (а-46, 2а+Б) и |а+26|.

Привет! Разбираемся с векторами.

Пошаговое решение:

Для начала вспомним, что скалярное произведение векторов \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos(\varphi) \], где \( \varphi \) – угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).

• Вычислим скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 2 \cdot cos(\frac{\pi}{3}) = 5 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 5 \].
• Теперь вычислим скалярное произведение векторов \( \vec{a}-4\vec{b} \) и \( 2\vec{a}+\vec{b} \): \[ (\vec{a}-4\vec{b}) \cdot (2\vec{a}+\vec{b}) = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) + (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 4(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 2|\vec{a}|^2 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 4|\vec{b}|^2 \] \[ = 2 \cdot 5^2 - 7 \cdot 5 - 4 \cdot 2^2 = 50 - 35 - 16 = -1 \].
• Теперь найдем \( |\vec{a} + 2\vec{b}| \). Сначала возведем в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ |\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 5^2 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 2^2 = 25 + 20 + 16 = 61 \].

Чтобы найти \( |\vec{a} + 2\vec{b}| \), нужно извлечь квадратный корень из полученного результата: \[ |\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{61} \].

Ответ: (а-4b, 2a+b) = -1 и |а+2b| = √61.