2.4. Дан треугольник с вершинами A(1;2;-3), B(2;3;1), C(3;2;1). Найти внешний угол при вершине А и острый угол между медианой BD и стороной АС.

Привет! Находим углы в треугольнике.

Пошаговое решение:

• Найдем векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):
• \( \vec{AB} = {2-1, 3-2, 1-(-3)} = {1, 1, 4} \).
• \( \vec{AC} = {3-1, 2-2, 1-(-3)} = {2, 0, 4} \).
• Найдем косинус угла \( \angle BAC \):
• \[ cos(\angle BAC) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 4 \cdot 4}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} \cdot \sqrt{2^2 + 0^2 + 4^2}} = \frac{2 + 0 + 16}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{20}} = \frac{18}{\sqrt{360}} = \frac{18}{6\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \].
• Тогда угол \( \angle BAC = arccos(\frac{3}{\sqrt{10}}) \approx 18.4 \) градусов.
• Внешний угол при вершине A равен \( 180 - \angle BAC \approx 180 - 18.4 = 161.6 \) градусов.
• Найдем координаты точки D (середина AC):
• \( D = (\frac{1+3}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{-3+1}{2}) = (2, 2, -1) \).
• Найдем вектор \( \vec{BD} \):
• \( \vec{BD} = {2-2, 2-3, -1-1} = {0, -1, -2} \).
• Найдем косинус угла между векторами \( \vec{BD} \) и \( \vec{AC} \):
• \[ cos(\theta) = \frac{\vec{BD} \cdot \vec{AC}}{|\vec{BD}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{0 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + (-2) \cdot 4}{\sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{2^2 + 0^2 + 4^2}} = \frac{-8}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}} = \frac{-8}{\sqrt{100}} = \frac{-8}{10} = -0.8 \].
• Тогда угол \( \theta = arccos(-0.8) \approx 143.1 \) градусов.
• Острый угол между медианой BD и стороной AC равен \( 180 - \theta \approx 180 - 143.1 = 36.9 \) градусов.

Ответ: Внешний угол при вершине А равен 161.6 градусов, острый угол между медианой BD и стороной AC равен 36.9 градусов.